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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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6. Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
f) f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^{2} \ln x

Respuesta

Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊

1) El dominio de la función es (0,+∞)(0, +\infty) 

2) Calculamos f′(x)f'(x) y f′′(x)f''(x)

f′(x)=2xln⁡(x)+x2⋅1x=2xln⁡(x)+x f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x

f′′(x)=2ln⁡x+2x⋅1x+1=2ln⁡x+2+1=  2ln⁡x+3 f''(x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \ln x + 2 + 1 =  2 \ln x + 3

3) Igualamos f′′(x)f''(x) a cero para encontrar los puntos de inflexión

2ln⁡x+3=0 2 \ln x + 3 = 0 ln⁡x=−32 \ln x = -\frac{3}{2} x=e−32 x = e^{-\frac{3}{2}}

4) Dividimos la recta real en intervalos donde f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:

a) (0, e−32)→f′′(x)<0→f(x) (0, e^{-\frac{3}{2}}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia abajo
b) (e−32,+∞)→f′′(x)>0→f(x) (e^{-\frac{3}{2}}, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) es cóncava hacia arriba

Por lo tanto, x= e−32x = e^{-\frac{3}{2}} es punto de inflexión de ff. 
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